从这一节开始，我们考虑另一种特殊的函数项级数：三角级数。就是函数项级数的每一项都是正弦、余弦函数的级数。这一节我们主要讨论三角级数的定义以及三角函数的正交性。
1，函数项级数：我们知道如果级数的每一项都是函数的级数，称为函数项级数\[\sum_{n=0}^{\infty}u(x)\]
2，三角级数：如果函数项级数的每一项为正弦函数或者余弦函数，
\[\sum_{n=0}^{\infty}u(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\sin (nx)+b_n\cos(nx))\]
这样的级数称为三角级数。
3，傅里叶级数（Fourier 级数）：若一个周期为 \(2\pi\) 的函数 \(f(x)\) 可以展开成三角级数
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos (nx)+b_n\sin(nx))\]
我们称这个级数为函数 \(f(x)\) 的傅里叶级数。这里
\[a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx\]
4，三角函数的正交性：考虑 \([-\pi,\pi]\) 上的函数系 \[1,\cos x, \sin x,\cdots, \cos(nx),\sin(nx),\cdots\]
所谓正交性，是指任何两个不同的函数之积，在区间 \([-\pi,\pi]\) 上的积分为 \(0\)。也就是
\[\begin{align*}&\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx=0\\&\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx=0\\ &\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(mx)dx=0\\& \int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx=0,\quad m\ne n\\ & \int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx=0,\quad m\ne n\end{align*}\]
证明：前面两个等式，直接计算即可证明。后面三个，利用三角函数的积化和差公式，可以证明，这里略过。