若 \(f(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的函数，它可以展开成傅里叶级数。
1，若 \(f(x)\) 在 \((-\pi,\pi)\) 上是奇函数，则
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nxdx,\quad b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nxdx\]
这样的级数称为傅里叶正弦级数。
2，若 \(f(x)\) 在 \((-\pi,\pi)\) 上是偶函数，则
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx,\quad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nxdx\]
这样的级数称为傅里叶余弦级数。
这是因为傅里级数的系数是通过在对称区间 \((-\pi,\pi)\) 上积分所得，根据定积分的性质，对称区间上奇函数的积分为 \(0\)，偶函数在对称区间上的积分为正数部分积分的 \(2\) 倍，所以
- 若 \(f(x)\) 是奇函数，则 \(f(x), f(x)\cos nx\) 都是奇函数，它们在 \((-\pi,\pi)\) 上积分为 \(0\)，所以 \(a_0, a_n\) 都是 \(0\)，级数只有正弦项，而 \(f(x)\sin nx\) 是偶函数， \[b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\sin nxdx\]
- 若 \(f(x)\) 是偶函数，则 \(f(x)\sin nx\) 都是奇函数，它们在 \((-\pi,\pi)\) 上积分为 \(0\)，所以 \(b_n\) 都是 \(0\)，级数只有常数项与余弦项，而 \(f(x), f(x)\cos nx\) 都是偶函数，\[\begin{align*}&a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)dx\\&a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos nxdx\end{align*}\]
例1：\(f(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的函数， \(f(x)=x, x\in (-\pi,pi]\)，求 \(f(x)\) 的傅里叶级数。
解：因为 \(f(x)\) 在 \((-\pi,pi)\) 上是奇函数，所以它的傅里叶级数是正弦级数，
\[\begin{align*}b_n&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin nxdx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin nxdx\\ &=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{1}{n}x\cos nx+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos nxdx\right)=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{1}{n}x\cos nx+\frac{1}{n^2}\sin nx\right)\Big|_0^{\pi}\\ &=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi}{n}\cos n\pi\right)=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi}{n}(-1)^n\right)\\ &=\frac{(-1)^{n+1}\cdot 2}{n}\end{align*}\]
所以 \[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\cdot 2}{n}\sin nx\]
例2：\(f(x)\) 是以 \(2\pi\) 为周期的函数， \(f(x)=|x|, x\in (-\pi,pi]\)，求 \(f(x)\) 的傅里叶级数。
解：\(f(x)\) 是偶函数，所以
\[\begin{align*}a_0&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}xdx=\frac{1}{\pi}x^2\Big|_0^{\pi}=\pi\end{align*}\]
\[\begin{align*}a_n&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nxdx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\cos nxdx\\ &=\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{n}x\sin nx-\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin nxdx\right)=\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{n}x\sin nx+\frac{1}{n^2}\cos nx\right)\Big|_0^{\pi}\\ &=\frac{2}{\pi}\left(\frac{1}{n^1}\cos n\pi -\frac{1}{n^2}\right)=\frac{2}{n^2\pi}\left((-1)^{n}-1\right)\end{align*}\]
所以
\[f(x)=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^2\pi}\left((-1)^{n}-1\right)\cos nx\]