向量的叉积也称为向量的向量积、外积，它的结果是一个向量，所以我们需要规定它的大小和方向。两向量的叉积\(\vec{a}\times\vec{b}\)定义为
- 长度为\(|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\);
- 方向为：\(\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{a},\vec{a}\times\vec{b}\bot\vec{b},\) 且 \(\vec{a},\vec{b}, \vec{a}\times\vec{b}\) 成右手系。
对于叉积来说，最重要的结果是：
定理1：两向量平行的充分必要条件是两向量的叉积为 \(0\)。即 \[\vec{a}\parallel\vec{b}\Longleftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=0\]
从定义可以得到，如果两个非零向量的叉积为零，只能是 \(\theta=0\) 或者 \(\theta=\pi\)。零向量的方向是任意的，所以如果其中一个向量为零向量的话，它与所有向量都平行。
坐标系下的叉积：如果在坐标系下 \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3), \vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\)，则它们的叉积定义为\[\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}\]
二、三阶行列式的定义：
二阶行列式 \[\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=ad-bc\]
三阶行列式 \[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\]
叉积的运算法则：
- \(\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}\);
- \((\lambda\vec{a})\times\vec{b}=\lambda(\vec{a}\times\vec{b})\);
- \((\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}\)。
我们来看几个叉积的例子。
例1：设\(\vec{a}=(2,1,-1), \vec{b}=(1,-1,2)\)，求 \(\vec{a}\times\vec{b}\)。
解：由叉积在坐标下的定义，我们有
\[\begin{align*}\vec{a}\times\vec{b}=&\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 2&1&-1\\ 1&-1&2\end{vmatrix}\\ &= \vec{i}\begin{vmatrix}1&-1\\ -1&2\end{vmatrix}-\vec{j}\begin{vmatrix} 2&-1\\1&2\end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix}2&1\\1&-1\end{vmatrix}\\ &= \vec{i}-5\vec{j}-3\vec{k}\\&=(1,-5,-3)\end{align*}\]
例2：求一个向量，垂直于过三点 \(P=(1,4,6), Q=(-2,5,-1), R=(1,-1,1)\) 的平面。
解：因为这个向量垂直于平面，那么平面上所有的向量都与我们要求的向量垂直。但是我们有平面上的三个点，这三个点可以组成两个向量
\[\vec{PQ}=(-3,1,-7), \quad \vec{PR}=(0,-5,2)\]而两个向量的叉积同时垂直于这两个向量，所以我们有
\[\begin{align*}\vec{PQ}\times\vec{PR}&=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ -3&1&-7\\ 0&-5&2\end{vmatrix}\\&= -40\vec{i}-15\vec{j}+15\vec{k}\\&=(-40,-15,15)\end{align*}\]所以向量 \((-40,-15,15)\) 就是我们要求的。