空间中的曲线，一般是用参数方程给出，当然也会有其它的表示方式。
1，空间曲线的一般方程：一般来说，两个曲面的交线是空间曲线，这就是曲线的一般方程：
\[\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{cases}\]
例1，曲面 \(z=x^2+y^2\) 与曲面 \(z=4-x^2-y^2\) 的交线是什么？
解：等式 \[x^2+y^2=4-x^2-y^2\quad \Rightarrow\quad x^2+y^2=2, z=2\]所以是 \(z=2\) 平面上的一个圆 \(x^2+y^2=2\)。
2，空间曲线的参数方程：我们考虑质点在空间中的运行轨迹，在每个时刻 \(t\)，质点在空间中的坐标为 \(x(t), y(t), z(t)\)，那么在某个时段内，质点在空中是的运动轨迹就是一条空间曲线，可以用一个参数方程给出
\[\begin{cases}x=x(x)t\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{cases},\quad \alpha\le t \le \beta\]或者写成向量的形式
\[\vec{r}(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}\]
例2：曲线 \(\vec{r}_(t)=(\sin t, \cos t), -\frac{\pi}{2}\le t \le \frac{\pi}{2}\) 与曲线 \(\vec{r}_2(t)=(t-1, sqrt{2t-t^2}), 0\le t\le 2\) 表示同一条曲线。因为
\[\vec{r}_1(-\frac{\pi}{2})=(-1, 0), \vec{r}_1(-\frac{\pi}{2})=(1, 0)\]它的起点在 \((-1, 0)\)，终点在 \((1, 0)\)，并且在直角坐标下 \[x^2+y^2=\sin^2t+\cos^2t=1\]它是单位圆的表示式， 这是一个半圆。因为起点在 \(-\frac{\pi}{2}\)，终点在 \(\frac{\pi}{2}\)，角度转动 \(\pi\)。
再看 \(\vec{r}_2(t)\)，\[\vec{r}_2(-\frac{0)=(-1, 0), \vec{r}_2(2)=(1, 0)\]所以它与 \(\vec{r}_1(t)\) 的起点与终点都相同。再看它在直角坐标下的表达式：
\[x^2+y^2=(t-1)^2+(2t-t^2)=1\]它也是一个单位圆的表达式，从起点到终点是一个半圆。跟前面一样。所以这两条曲线是同一条曲线。
很多时候，我们需要将曲线的一般方程化成参数方程。将一般方程化成参数方程的方法也有很多种。这里我们举例说明将一般方程化成参数方程的方法。
例3：将曲线的一般方程化成参数方程：
\[\begin{cases}x^2+y+z=2\\ xy+z=1\end{cases}\]
解：我们将第一个方程减去第二个方程，消去 \(z\)，得到\[x^2+y-xy=1\]我们令 \(x=t\)， 则
\[\begin{align*}t^2+y-ty=1\quad &\Rightarrow\quad t^2+y(1-t)=1\\ &\Rightarrow \quad y=\frac{1-t^2}{1-t}=1+t\end{align*}\]
代入到第二个方程里去，我们得到 \(z=1-t^2-t\)，所以曲线的参数方程为
\[\begin{cases}x=t\\ y=1+t\\ z=1-t^2-t\end{cases}\]
例4：将曲线的方程 \[\begin{cases}x+2y+4z=4\\ x^2+4y^2=4\end{cases} \]参数化。
解：从第二个方程 \(x^2+4y^2=4\)，我们可以令 \(x=2\cos t, y=\sin t\)（这是一个椭圆，这是标准的参数方程）。代入到第一个方程，我们得到 \[2\cos t+2\sin t+4z=4,\quad\Rightarrow\quad z=1-\frac{1}{2}\cos t-\frac{1}{2}\sin t\]
所以曲线的参数方程为 \[\begin{cases}x=2\cos t\\ y=\sin t\\ z=1-\frac{1}{2}\cos t-\frac{1}{2}\sin t\end{cases}\]