我们在以后求二重积分和三重积分的时候，经常要将曲线或者曲面投影到坐标面上去，这就需要我们熟悉曲线与曲面投影的方法。求投影的基本方法是，先求出投影柱面，然后投影柱面的方程就是投影曲线的方程。投影柱面就是通过空间曲线每一点作一系列平行于坐标轴的直线，就得到了与另外两个坐标轴形成的坐标面的垂直的柱面，这个柱面就是投影柱面。
笔记下载：空间曲线与曲面的投影
1，空间曲线的投影：如果空间曲线是用一般方程给出，我们只需要在两个曲面的方程里面消去一个变量，就得到了一个柱面，这个柱面就是投影柱面。在后续课程里我们一般只会碰到这种情况。我们来看例题。
例1：求曲线 \[\begin{cases}z=x^2+y^2\\ x+y+z=1\end{cases}\] 在 \(xOy\) 平面上的投影。
解：在方程里面消去 \(z\)，将第一个方程代入到第二个方程，我们得到
\[x+y+x^2+y^2=1\quad \Rightarrow\quad (x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{2}\]
这里我们用了二次函数的配方法。所以曲线在 \(xOy\) 平面的投影为圆 \((x+\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2=\frac{3}{2}\)。
2，曲面的投影。求曲面在坐标面上的投影，我们通过曲面每一个点作平行于坐标轴的直线，得到垂直于另外两个变量组成的坐标面的投影柱体，这个柱体与坐标面相交的区域就是投影区域。
实际操作中，我们可以看出曲面某一部分的投影包含了所有其它点的投影，我们只需要求出这部分的投影就行。
例2：求曲面 \(z=x^2+y^2, 0\le z\le 4\) 在三个坐标面上的投影。
解：（1）在 \(xOy\) 平面的投影：这个曲面在 \(0\le z\le 4\) 部分，最大的部分就是 \(z=4\) 时， 所以它的投影就是 \(x^2+y^2=4\) 的内部，所以曲面在 \(xOy\) 平面的投影为 \[D:x^2+y^2\le 4\]
（2）在 \(yOz\) 平面的投影：这个曲面在 \(yOz\) 平面的投影，都在 \(z=y^2\) 的内部或者上方，所以它在 \(yOz\) 平面的投影为 \[D:y^2\le z, 0\le z\le 4\]
（3）在 在 \(xOz\) 平面的投影：因为 \(x\) 与 \(y\) 是对称的，所以在 \(xOz\) 平面的投影为 \[D:x^2\le z, 0\le z\le 4\]