由一个方程或者方程组给出的变量之间的函数关系称为隐函数。这里我们给出多元隐函数的偏导数求法。
我们在一元函数部分，隐函数求导是将方程两边对 \(x\) 求导，在求导过程中，将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数，从而求出 \(y\) 关于 \(x\) 的导数。对于多元函数，方法也是一样，只是导数变成了偏导数。
1，\(F(x,y)=0\)的情形，求 \(\frac{dy}{dx}\)。我们现在利用偏导数的方法来求。
将方程两边对 \(x\) 求偏导，在求导过程中，将 \(y\) 看成 \(x\) 的函数。我们有\[\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\cdot \frac{dy}{dx}=0 \quad \Longrightarrow \quad F_x+F_y\frac{dy}{dx}=0\]解出 \(\frac{dy}{dx}\)，我们得到 \[\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\]
这里我们自然要求 \(F_y\ne 0\)。
2，\(F(x,y,z)=0\)，求 \(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\)。
两边对 \(x\) 求偏导，我们有 \[F_x+F_z\frac{\partial z}{\partial x}=0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, F_z\ne0\]
两边对 \(y\) 求偏导，我们有 \[F_y+F_z\frac{\partial z}{\partial y}=0 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}, F_z\ne0\]
例1：设 \(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\)，求 \(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\)。
解：因为 \[F_x=2x, F_y=2y, F_z=2z\]所以 \[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{x}{z}\] \[\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{y}{z}\]
例2：\(F(x,y,z)=x+2y+z-2\sqrt{xyz}=0\)，求 \(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}\)。
解：因为 \[F_x=1-\frac{yz}{\sqrt{xyz}}, F_y=2-\frac{xz}{\sqrt{xyz}}, F_z=1-\frac{xy}{\sqrt{xyz}}\]
所以
\[\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{1-\frac{yz}{\sqrt{xyz}}}{1-\frac{xy}{\sqrt{xyz}}}=-\frac{\sqrt{xyz}-yz}{\sqrt{xyz}-xy}\]
\[\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{1-\frac{xz}{\sqrt{xyz}}}{1-\frac{xy}{\sqrt{xyz}}}=-\frac{\sqrt{xyz}-xz}{\sqrt{xyz}-xy}\]
我们将前面的结论总结叙述成一个定理。
3，定理（隐函数存在定理）：若 \(F(x,y,z)\) 在 \((x_0,y_0,z_0)\) 处有连续偏导数且 \(F_z(x_0,y_0,z_0)\ne 0\)，则在 \((x_0,y_0,z_0)\) 附近， \(F(x,y,z)=0\) 能确定唯一的函数 \(z=z(x,y)\) 且 \[\frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{F_x}{F_z}(x_0,y_0,z_0),\quad \frac{\partial z}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)=-\frac{F_y}{F_z}(x_0,y_0,z_0)\]
我们不去证明这个定理。
4，方程组的情形。\[\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0\end{cases}\]求 \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\)。
我们对 \(x\) 求偏导，\[\begin{cases}F_x+F_u\frac{\partial u}{\partial x}+F_v\frac{\partial v}{\partial x}=0\\ G_x+G_u\frac{\partial u}{\partial x}+G_v\frac{\partial v}{\partial x}=0\end{cases}\]
对 \(y\) 求偏导，\[\begin{cases}F_y+F_u\frac{\partial u}{\partial y}+F_v\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ G_y+G_u\frac{\partial u}{\partial y}+G_v\frac{\partial v}{\partial y}=0\end{cases}\]
我们可以从这两个方程组里给出一般的公式，但这个公式一般不容易记忆，这里就不再推导它们的一般公式了。
在具体的求隐函数导数的时候，我们可以直接利用这两个公式，和线性代数里面求解方程组的方式，来求得那些偏导数。
例3，设 \[\begin{cases}xu-yv=0\\ yu+xv=1\end{cases}\]
求 \(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\)。
解：对方程组关于 \(x\) 求偏导，我们有
\[\begin{cases}u+x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial v}{\partial x}=0\\ y\frac{\partial u}{\partial x}+v+x\frac{\partial v}{\partial x}=0\end{cases}\]
第一式乘以 \(x\) 加上第二式乘以 \(y\)，消去 \(\frac{\partial v}{\partial x}\)，得到 \[xu+x^2\frac{\partial u}{\partial x}+y^2\frac{\partial u}{\partial x}+yv=0\]
由方程组第二个方程， \(xu+yv=1\)，得到 \[(x^2+y^2)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+1=0,\] 从而解出 \[\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{x^2+y^2}\]
将第一式乘以 \(y\) 减去第二式乘以 \(x\)，我们得到 \[uy-y^2\frac{\partial v}{\partial x}-xv-x^2\frac{\partial v}{\partial x}=0\]
合并同类项，得 \[yu-xv=(x^2+y^2)\frac{\partial v}{\partial x}\Longrightarrow \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{yu-xv}{x^2+y^2}\] 同样的方法，可以得到另外两个偏导数。