梯度、旋度与散度是场论中的几个基本向量，它们有各自的物理意义。我们已经知道，梯度方向是函数增长最快的方向，梯度的反方向是函数减少最快的方向，那么，散度与旋度又有什么意义呢？
我们先给出这三个向量的定义。
1，梯度：这个我们之前学过的，一个函数的梯度是一个向量
\[\text{grad}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)\]
如果定义微分算子 \(\nabla =\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\)，那么梯度可以简写为 \(\nabla f=\text{grad}f\)。
梯度方向是函数增长最快的方向，梯度的反方向是函数减少最快的方向。
2，散度：一个向量函数 \(\vec{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z))\) 的散度定义为 \[\text{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\]
用 \(\nabla\) （nabla）算子可以记为
\[\text{div}\vec{F}=\nabla\cdot \vec{F}\]
中间的点，当作内积一样的运算。只是我们要注意，不像内积，\(\nabla\) 算子不能跟函数交换。也就是说 \(\nabla\cdot \vec{F}\ne \vec{F}\cdot\nabla\)。
因为向量函数的散度是一个数量函数， \[\nabla\cdot \vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\]
而 \[\vec{F}\cdot\nabla=P\frac{\partial }{\partial x}+Q\frac{\partial }{\partial y}+R\frac{\partial }{\partial z}\] 仍然是一个算子。
3，旋度：一个向量函数 \(\vec{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z), R(x,y,z))\) 的旋度 \(\text{curl}\vec{F}\)定义为
\[\text{curl}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}=\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial x}\\ P(x,y,z)&Q(x,y,z)&R(x,y,z)\end{vmatrix}\]
有些教材将旋度写成 \(\text{rot}\vec{F}=\nabla \times\vec{F}\)。
同样的，叉积的运算规则也不适用于 \(\nabla\) 算子。跟前面讲过的一样，交换 \(\vec{F}\) 与 \(\nabla\) 的顺序，会得到完全不同的两个东西。
这三个向量的定义不复杂，计算也简单，我们仅举一例。
例1：设 \(\vec{F}=xy\vec{i}+(y^2-z^2)\vec{j}+yz\vec{k}\)，求 \(\vec{F}\) 的散度与旋度。
解：\[\nabla \vec{F}=\frac{\partial }{\partial x}(xy)+\frac{\partial }{\partial y}(y^2-z^2)+\frac{\partial }{\partial z}(yz)=y+2y+y=4y\]
\[\begin{align*}\nabla\times\vec{F}&=\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j}&\vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial x}\\ xy&y^2-z^2&yz\end{vmatrix}\\ &=3z\vec{i}+0\vec{j}+x\vec{k}=(3z,0,x)\end{align*}\]
\(\vec{i}\) 的坐标为 \(3z\)，视频里有错误。
4，散度与旋度的物理意义：
散度：流体的密度变化，或者流流体的扩散情况。例如，一滴墨水滴入水中，它在水中的扩散方向与速度。
旋度：流体的流动时是否有旋转，以及旋转的方向与大小。例如，我们转动水桶里的水时，它的旋涡指向下的。这也是平面向量的旋度始终指向第三个向量（\(z\) 方向）的物理解释。