一般的线性空间

现在可以定义一般的线性空间的定义。线性空间是一组向量的集合，在其上定义了加法与数乘。加法与乘法满足一般的加法与乘法的运算规律，并且在此集合上，对加法与数乘封闭，这样的集合称为一个线性空间。

1，线性空间：线性空间（或者向量空间） $\mathcal{V}$ 是一个非空集合，其中的元素称为向量， 在 $\mathcal{V}$ 上定义了加法和数乘两种运算，满足：

（1）若 $\overrightarrow{u}\in \mathcal{V},\overrightarrow{v}\in \mathcal{V}$，则 $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in \mathcal{V}$（对加法运算封闭）；

（2）$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$；

（3）$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$；

（4）$\mathcal{V}$ 中存在零元素 $0$，使得 $\overrightarrow{u}+o=0+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$；

（5）$\mathcal{V}$ 中的任一元素 $\overrightarrow{u}\in \mathcal{V}$，存在负元素 $-\overrightarrow{u}\in \mathcal{V}$，使得 $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=0$；

（6）若 $\overrightarrow{u}\in \mathcal{V}$，则对任何 $\lambda \in \mathbb{R}$，有 $\lambda \overrightarrow{u}\in \mathcal{V}$，这表示集合对数乘运算封闭。$\lambda$ 可以是其它数域。若它是实数，则称 $\mathcal{V}$ 是实向量空间，若它是复数，则称 $\mathcal{V}$ 是复向量空间；

（7）$\lambda (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\lambda \overrightarrow{u}+\lambda \overrightarrow{v},\lambda \in \mathbb{R}$；

（8）$(\lambda +\mu )\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{u},\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$；

（9）$\lambda (\mu \overrightarrow{u})=(\lambda \mu )\overrightarrow{u},\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$；

（10）$1\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$。

如果要证明一个集合是一个线性空间（向量空间），就要验证这些条件都满足。若其中一个条件不满足，则这个集合就不是线性空间。

例1，${\mathbb{R}}^n$ 是一个线性空间。根据实数的运算性质，以及矩阵的加法，数乘的运算规律，可以得到 ${\mathbb{R}}^n$ 满足上述所有条件。

例2， ${\mathbb{P}}_n$ 定义为最高阶为 $n$ 的多项式集合， ${\mathbb{P}}_n=\{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0\}$ 是一个线性空间。

例3，$[a,b]$ 上所有连续函数组成的集合，记为 $C[a,b]$，是一个线性空间。

证明：设 $f,g,h\in C[a,b]$，则由连续函数的运算性质，下列各条件成立：

（1）$f+g$ 也是 $[a,b]$ 上的连续函数，$f+g\in C[a,b]$，所以 $C[a,b]$ 对加法运算封闭；

（2）$f+g=g+f$；

（3）$(f+g)+h=f+(g+h)$；

（4）$f=0$ 也是 $[a,b]$ 上的连续函数，所以 $0\in C[a,b]$；

（5）若 $f$ 是$[a,b]$ 上的连续函数，则$-f$ 也是 $[a,b]$ 上的连续函数，且 $f+(-f)=0$；

（6）$\lambda f$ 也是 $[a,b]$ 上的连续函数，所以 $C[a,b]$ 对数乘运算封闭；

（7）$\lambda (f+g)=\lambda f+\lambda g$；

（8）$(\lambda +\mu )f=\lambda f+\mu f$；

（9）$\lambda (\mu f)=(\lambda \mu )f$；

（10）$1f=f$。

所以$[a,b]$ 上的连续函数构成一个线性空间。