这一节我们讲述幂级数展开的方法，包括幂级数的变量代换、逐项求导与逐项积分。
1，和函数：幂级数若收敛，它的和就是一个函数，我们称之为幂级数的和函数。
2，幂级数的变量代换：若 \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n, |x|<R\]
则 \[f(g(x))=\sum_{n=0}^{\infty}a_ng^n(x), |g(x)|<R\]
我们已经知道，几何级数
\[\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}, |x|<1\]
利用变量代换及这个展开式，我们可以得到一些函数的展开式。
例1：\(\displaystyle\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n},\quad |x|<1\)。
例2：\(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n},\quad |x|<1\)。
例3：\(\displaystyle\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n,\quad |x|<1\)。
例4：\(\displaystyle\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\frac{1}{1+\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^n=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^{n+1}}\)
它的收敛半径为
\[\left|-\frac{x}{2}\right|<1\quad \Rightarrow\quad |x|<2\]
所以 \[\frac{1}{2+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{2^{n+1}},\quad |x|<2\]
3，定理（逐项求导与逐项积分）：若级数 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a_0)^n\) 的收敛半径为 \(R\)，则它的和函数 \(\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a_0)^n\) 在区间 \((a_0-R, a_0+R)\) 上可微，并且
（1）\(\displaystyle f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}[a_n(x-a_0)^n]’=\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-a_0)^{n-1}\)；
（2）\(\displaystyle\int f(x)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int a_n(x-a_0)^n dx= C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a_0)^{n+1}\)，这里 \(C\) 根据函数在 \(a_0\) 处的值来确定。
这个定理的证明需要级数的一致收敛的概念及相关定理，这里我们略去。
这个定理说明，逐项求导与逐项积分不改变收敛半径。
例5：因为 \(\displaystyle\frac{1}{(1-x)^2}=\left(\frac{1}{1-x}\right)’\)，所以
\[\frac{1}{(1-x)^2}=\left(\frac{1}{1-x}\right)’=\sum_{n=0}^{\infty}(x^n)’=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}\]
它的收敛半径为 \(R=1\)，收敛域为 \(|X|<1\)。这里 \(n\) 从 \(1\) 开始是因为原级数的第一项为常数，它的导数为 \(0\)。
例2：因为 \(\displaystyle\frac{1}{(1+x)^2}=-\left(\frac{1}{1+x}\right)’\)，所以
\[\frac{1}{(1+x)^2}=-\sum_{n=0}^{\infty}((-1)^nx^n)’=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^nnx^{n-1}, \quad |x|<1\]
例7：因为 \(\displaystyle\ln (1+x)=\int\frac{1}{1+x}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int(-1)^nx^ndx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}\)。
因为函数是在 \(x=0\) 处展开，而 \(\ln(1+0)=0\)，所以 \(C=0\)，所以
\[\ln (1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{n+1}}{n+1}\]