如何求幂指函数的极限与导数?

幂指函数,看起来就是这样的函数 f(x)g(x), 函数既像幂函数,又像指数函数,它的底和指数都是函数。它在高数里面出现的频率是比较高的,特别是求极限和求导数的时候。对于这样的函数,最常见的错误就是求导的时候,把它当成幂函数的复合函数,或者普通的指数函数的复合函数来求导。这类函数的极限也是这门课的一个难点,很多同学见到这类函数的极限往往不知所措。这篇文章就对这种函数的相关问题做一个详细的剖析。

幂指函数的定义域:同指数函数一样,幂指函数要求它的底是正数,否则,函数可能就没有意义。例如,当 x<0 时,函数 xx 就没什么意义。所以对于幂指函数来说,f(x)>0,再加上 g(x)f(x) 的定义域,幂指函数的定义域是这三个数集的交集。严格来说,如果设 f(x) 的定义域为 U1g(x) 的定义域为 U2V={xR:f(x)>0} ,则幂指函数 (f(x)g(x) 的定义域是 U=U1U2V

幂指函数的复合规则: 幂指函数是复合函数吗?答案是它是复合函数。 但它的复合规则不是由指数函数与幂函数的复合,也不是幂函数与指数函数的复合。那它是由什么样的函数,通过什么样的规则复合而成的呢?

我们先来对它进行变形, 先对它取对数,再取 e 底,那么 f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)。这样,问题就简单多了,我们可以认为它是由指数函数 eu 和函数 g(x)lnf(x) 复合而成的函数。这就是幂指函数的复合规则。

有了它的复合规则以后,幂指函数的极限与导数就变得容易多了。

幂指函数的极限: 如果 limxaf(x)=A,limxag(x)=B,且 A,B 都是常数并且不同时为 0, 则 limxaf(x)g(x)=AB。这个可以用复合函数的极限运算法则得到。 因为 limxaf(x)g(x)=elimxag(x)lnf(x)=eBlnA=AB

如果极限 limxaf(x)g(x) 是未定式极限,就是它是 00,1 型或者 0 型中的一种。这时候的通常做法是将极限 limxaf(x)g(x) 化成 elimxag(x)lnf(x) 的形式,接着将指数部分化成形式 limxalnf(x)1g(x)。这时候,指数部分的极限就成了两类基本的未定式极限 00 型或者 型,然后用洛必达法则可以求出极限指数部分的极限了。

对于 1 型的极限,还可以通过将它变形,运用第二个重要极限来求得它的极限。

幂指函数的导数:在教材里,幂指函数的导数一般是用对数求导法来求,而对数求导法是通过隐函数求导法得到的。那么知道了幂指函数的复合规则后,我们完全可以使用我们所熟悉的复合函数求导法则来求它的导数。我们来看怎么做。

F(x)=f(x)g(x), 那么因为 f(x)g(x)=eg(x)lnf(x), 所以可以设 u=g(x)lnf(x),从而 F(x) 是函数 G(u)=eu 和函数 u=g(x)lnf(x) 复合得到。从而由复合函数的求导公式
F(x)=G(u)u(x)=eu(g(x)lnf(x)+g(x)f(x)f(x))

u 回代,就得到了
F(x)=G(u)u(x)=f(x)g(x)(g(x)lnf(x)+g(x)f(x)f(x))

如果熟悉了,可以直接这么求
(f(x)g(x))=(eg(x)lnf(x))=eg(x)lnf(x)(g(x)lnf(x))=f(x)g(x)(g(x)lnf(x)+g(x)f(x)f(x))


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