保形映射，解析函数的保域性

复变函数的图形只能通过两个平面来表示，因为函数的定义域与值域都是复平面，不可能用三维图形来表示，那么这两张图之间就可以看成是一种映射。

解析函数的一个重要的性质是它们的保形性。顾名思义，保形就是保持形状不变。解析函数确定的映射保持角度不变，且方向不变。一个三角形，只要它足够小，那么它在解析映射之下的像与它本身之间几乎就是相似的（略去高阶无穷小后就是相似的。）

保形映射、解析函数的保域性下载

1，保形映射：如果一个映射（1）保角（夹角不变）；（2）伸缩率不变，就称这们的映射为保形映射。

2，定理（解析函数的保域性，开映射原理）：设 $w = f (z)$ 在区域 $D$ 上解析且恒不等于常数，则 $D$ 的像 $G = f (D)$ 也是一个区域。

证明：我们需要证明 $G$ 是连通的开集，所以这个证明分成两步：

（1）我们证明 $G$ 是连通的。设 $w_{0}, w_{1}$ 是 $G$ 中任意两点， $f (z_{0}) = w_{0}, f (z_{1}) = w_{1}, z_{0}, z_{1} \in D$ .

设 $γ (t)$ 是连接 $z_{0}, z_{1}$ 的位于 $D$ 中的曲线， $γ (0) = z_{0}, γ (1) = z_{1}$ ，则 $f (γ (t))$ 是位于 $G$ 中且 $f (γ (0)) = f (z_{0}) = w_{0}, f (γ (1)) = f (z_{1}) = w_{1}$ ，所以 $f (γ (t))$ 是 $G$ 中连接 $w_{0}$ 和 $w_{1}$ 的曲线，所以 $G$ 是连通的。

（2）我们证明 $G$ 是开集。我们只需要证明 $G$ 中任意一点，其附近的点也属于 $G$ 。

设 $w_{0} \in G$ 是 $G$ 中任意一点， $f (z_{0}) = w_{0}$ ，只需要证明当 $w_{1}$ 充分接近 $w_{0}$ 时， $f (z) = w$ 在 $D$ 内有解。因为

$f (z) - w = f (z) - w_{0} + w_{0} - w_{1}$

我们知道 $f (z_{0}) = w_{0}$ ，也就是说 $f (z) - w_{0}$ 有 $N_{δ} (z_{0})$ 内有解，这个 $N_{δ} (z_{0})$ 就是以 $z_{0}$ 为心， $δ$ 为半径的圆，称为 $z_{0}$ 的 $d e l t a$ 邻域。

由零点的孤立性，当 $z \neq z_{0}$ 时， $| f (z) - w_{0} | > ρ > 0$ ，所以在 $| w - w_{0} | < ρ$ 内， $| f (z) - w_{0} | > | w - w_{0} |$ 。

由儒歇定理， $f (z) - w_{0}$ 与 $f (z) - w_{0} + w_{0} - w$ 的零点数相同，所以

$f (z) - w = f (z) - w_{0} + w_{0} - w$

与 $f (z) - w_{0}$ 有相同的零点数，也就是说 $f (z) = w$ 在 $D$ 内有解。所以 $| w - w_{0} | < ρ$ 的点都属于 $G$ 。所以 $G$ 是开集。

综上所述， $G$ 是连通的开集，所以 $G$ 是一个区域。