我们之前讲述了几种情况下的分离变量法，带齐次边界的齐次方程，带非齐次边界的齐次方程，以及带齐次边界的非齐次方程的求解方法，这一节我们讲述最一般的情形，带非齐次边界条件的非齐次方程的分离变量法。
我们考虑非齐次方程
\[\begin{cases}u_t=a^2u_{xx}+f(x,t),& t>0, 0<x<L\\ u(0,t)=\varphi(t),u(L,t)=\psi(t),& t>0\\ u(x,0)=g(x),& 0<x<L\end{cases}\]
对于这种非齐次方程，非齐次边界条件的问题，我们的做法是利用线性方程的叠加原理，将方程分成两个部分，其中一部分处理非齐次边界条件，另一部分处理非齐次项。也就是说，我们设 \(u=v+w\)，其中 \(v\) 满足
\[\begin{cases}v_t=a^2v_{xx}, & t>0, 0<x<L\\ v(0,t)=\varphi(t), v(L,t)=\psi(t),& t>0\\ v(x,0)=g(x),& 0<x<L\end{cases}\]
它处理非齐次边界条件。它的求解方式我们之交已经讨论过，就是边界条件的齐次化，我们设 \(v=v_1+v_2\)，其中 \(v_2\) 满足 \[v_2(0,t)=\varphi(t), v_2(L,t)=\psi(t)\]
这样的函数有很多，最简单的是直线方程
\[v_2(x,t)=\frac{\psi(t)=\varphi(t)}{L}\cdot x+\varphi(t)\]
然后将它代入 \(v\) 的方程里去，得到 \(v_1\) 所满足的方程。通常这是一个非齐次方程，我们可以利用特征函数展开法来求解。
原方程的另一部分 \(w\)，满足非齐次方程
\[\begin{cases}w_t=a^2w_{xx}+f(x,t),& t>0, 0<x<L\\ w(0,t)=0,w(L,t)=0,& t>0\\ w(x,0)=0,& 0<x<L\end{cases}\]
我们直接利用特征函数展开法来得到它的解。
我们求出 \(v,w\) 之后，再把它们加起来就得到了原方程的解。