拉普拉斯方程是数学物理方程的三大方程之一，它是椭圆型方程的代表。推导拉普拉斯方程最直接，也是最简单的方法就是考虑物体的稳定态或者是平衡态。
1，稳定态，就是物体的位置或者性质与时间无关。与时间无关，则关于时间的导数为 \(0\)，\(u_t=0, u_{tt}=0\)。
所以热传导方程 \(u_t=c^2\Delta u\)，在到达稳定状态时，\(u_t=0\)，从而 \(\Delta u=0\)，这就是拉普拉斯方程。
波动方程 \(u_{tt}=c^2\Delta u\)，在到达稳定状态时，\(u_{tt}=0\)，也得到了拉普增斯方程 \(\Delta u=0\)。
2，极小曲面：我们也可以通过简化极小曲面方程来得到拉普拉斯方程。
极小曲面问题：以空间曲线 \(C\) 为边界的曲面中，哪一个曲面的面积最小？
我们已经知道，曲面的面积公式为 \[A=\iint_{\Omega}\sqrt{v_x^2+v_y^2+1}dA\]这里 \(\Omega\) 是曲面在 \(xy\) 平面上的投影。设 \(C\) 的参数方程为 \(C: x=x(s), y=y(s), u=\phi(s)\)。我们记 \[M(\phi)=\{v| v|_{\partial \Omega}\}=phi, \quad J(v)= \iint_{\Omega}\sqrt{v_x^2+v_y^2+1}dA \]
这里的 \(J\) 以 \(v\) 为自变量，这样的函数，我们称之为泛函，它是以函数为自变量的函数（就是函数的函数称为泛函数）。我们现在来求这个泛函的极小值。泛函的极小值问题称为变分问题。
假设 \(u\) 是 \(J(v)\) 的极小值。我们对 \(u\) 做微小扰动，\(u+\epsilon v\)，其中 \(v\in M_0\)， \(M_0=\{v| v|_{\partial \Omega}=0\}\)，这样，\(u+\epsilon v\in M(\phi)\)，记
\[J(\epsilon)=J(u+\epsilon v)=\iint_{\Omega} \sqrt{(u_x+\epsilon v_x)^2+(u_y+\epsilon v_y)^2+1}dA \]
那么 \(u\) 是 \(J(v)\) 的极小值，则当 \(\epsilon=0\) 时 \(J'(\epsilon)=J'(0)=0\)，而
\begin{align*}J'(\epsilon)&=\iint_{\Omega}\frac{(u_x+\epsilon v_x)v_x+(u_y+\epsilon v_y)v_y}{\sqrt{(u_x+\epsilon v_x)^2+ (u_y+\epsilon v_y)^2 +1}}dA\end{align*}
所以
\begin{align*}J'(0)&=\iint_{\Omega}\frac{u_xv_x+u_yv_y}{\sqrt{u_x^2+ u_y^2 +1}}dA\\ &=\iint_{\Omega}\frac{(u_x+\epsilon v_x)v_x+(u_y+\epsilon v_y)v_y}{\sqrt{(u_x+\epsilon v_x)^2+ (u_y+\epsilon v_y)^2 +1}}dA\\ &=\iint_{\Omega}\frac{1} {\sqrt{u_x^2+ u_y^2 +1}} \nabla u\cdot \nabla vdA\end{align*}
利用格林公式，或者分部积分，可以得到
\begin{align*}J'(0)&=\oint_{\partial\Omega}\frac{v}{\sqrt{ u_x^2+ u_y^2 +1 }}\cdot\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}dA-\iint_{\Omega}v\cdot\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u_x}{ \sqrt{u_x^2+ u_y^2 +1} }\right)+ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{u_y}{ \sqrt{u_x^2+ u_y^2 +1} }\right) \right]dA\end{align*}
因为 \(v\) 在边界上为 \(0\)，所以上式第一项积分为 \(0\)。而 \(v\) 是任意的，所以要使得积分为 \(0\)，方括号里的部分为 \(0\)，也就是
\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u_x}{ \sqrt{u_x^2+ u_y^2 +1} }\right)+ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{u_y}{ \sqrt{u_x^2+ u_y^2 +1} }\right) =0\]
这就是极小曲面的方程。现在我们来验证这是一个极小值。因为
\begin{align*}J^{\prime\prime}(\epsilon)=\iint_{\Omega}\frac{v_x^2+v_y^2+[v_x(u_y+\epsilon v_y)-v_y(u_x+\epsilon v_x)]^2}{((u_x+\epsilon v_x)^2+(u_y+\epsilon v_y)^2+1)^{3/2}}\ge 0\end{align*}
所以 \(J(0)\) 是极小值。也就是极小曲面 \(u=u(x,y)\) 满足方程
\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u_x}{ \sqrt{u_x^2+ u_y^2 +1} }\right)+ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{u_y}{ \sqrt{u_x^2+ u_y^2 +1} }\right) =0\]
这是一个非线性方程。我们对它做进一步简化，假设 \(u_x,u_y\) 足够小，那么 \[ \sqrt{u_x^2+ u_y^2 +1} \approx 1\]
则极小曲面的方程可以用拉普拉斯方程
\[u_{xx}+u_{yy}=0\]
来近似。