方阵是行数与列数相同的矩阵，对于方阵来说，我们可以定义它的行列式。
方阵是一种特殊的矩阵，它的行数与列数相同。在方阵里，又有一些特殊的矩阵。
1，单位矩阵：主对角线都是 \(1\) ，其余元素都是 \(0\) 的方阵，称为单位矩阵，记为 \(I_{n\times n}\)，若不需要指出它的阶，一般记为 \(I\)。就是
\[I=\begin{pmatrix}1&&&\\&\ddots&&\\ &&\ddots\\ &&&1\end{pmatrix}\]
单位矩阵的作用类似于 \(1\) 在实数中的作用，矩阵乘以单位矩阵等于矩阵本身。即\[A\cdot I=A,\quad I\cdot B=B\]
2，对角矩阵：除了对角线元素外，其余元素都是 \(0\) 方阵，叫做对角阵。对角阵可以记为 \(\text(diag)(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)。
3，对称矩阵与反对称矩阵：
- \(A^T=A\)，称为对称矩阵；
- \(A^T=-A\)，称为反对称矩阵；
4，方阵的幂：\(n\) 个相同方阵相乘， \[A^n=\underbrace{A\cdot A\cdots A}_{n},\quad A^)=I\]
5，方阵的行列式。对于方阵，我们可以定义它们的行列式。记为 \(|A|\) 或者 \(\text{det}A\)。由行列式的性质和矩阵的运算，我们有方阵行列式的运算法则：
- \(|A^T|=|A|\);
- \(|\lambda A|=\lambda^n|A|\);
- \(|AB|=|A||B|\)。
前两个可以由行列式的性质和矩阵的数乘的定义得到。我们证明最后一个性质。
证明：我们用二阶的方阵来证明，三阶及以上方阵的证明类似。我们记
\[M=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&0&0\\ a_{21}&a_{22}&0&0\\ -1&0&b_{11}&b_{12}\\ 0&-1&b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}\]
利用行列式的展开式，我们可以得到 \(|M|=|A||B|\)，再从 \(AB\) 的表达式，得到 \(|AB|\)，它们是相等的。细节请读者去完成。