从前面矩阵可逆的充分必要条件，结合线性方程组及矩阵秩的理论， 我们可以得到一系列矩阵可逆的等价条件。
对于可逆矩阵，我们有下列的定理
1，定理（矩阵可逆的等价条件）：下列条件是等价的
- \(A\) 可逆；
- \(|A|\ne 0\)；
- \(A\sim I\)；
- \(R(A)=n\)；
- \(A\vec{x}=0\) 只有零解；
- \(A\vec{x}=\vec{b}\) 有唯一解；
- 存在矩阵 \(B\) 使得 \(AB=I\)；
- 存在矩阵 \(C\)，使得 \(CA=I\);
- \(A^T\) 可逆。
所有这些条件中，比较好用的是通过矩阵的秩来判断。因为这个方法，计算量最小。如果只需要判断矩阵是否可逆而不需要求它的逆的时候，这个条件最方便。其次用得比较多的是利用可逆矩阵的行列式不为 \(0\) 的条件。
我们来看两个例子。
例1：判断矩阵 \(A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\ -1&5&6\\ 5&-4&5\end{pmatrix}\) 是否可逆。
解：我们用两种方法来判定。
（1）我们对矩阵作初等变换
\[A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\ -1&5&6\\ 5&-4&5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&-1\\ 0&7&5\\ 0&-14&10\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&-1\\ 0&7&5\\ 0&0&0\end{pmatrix}\]
所以 \(R(A)=2<3\)，所以矩阵不可逆。
（2）我们求矩阵的行列式\[|A|=\begin{vmatrix}1&2&-1\\ -1&5&6\\ 5&-4&5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&-1\\ 0&7&5\\ 0&-14&10\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}1&2&-1\\ 0&7&5\\ 0&0&0\end{vmatrix}=0\]所以矩阵不可逆。
例2：设 \(A=\begin{pmatrix}0&-2&1\\ 3&0&-2\\ -2&3&0\end{pmatrix}\)，问 \(A\) 是否可逆？
解：这个矩阵，\(0\) 元素比较多，利用行列式会比较方便。
\[|A|=\begin{vmatrix}0&-2&1\\ 3&0&-2\\ -2&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-2&1\\ 3&-4&0\\ -2&3&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3&-4\\ -2&3\end{vmatrix}=1\ne 0\]所以矩阵可逆。