直接利用行列式的定义来计算行列式，是一件很繁琐的事，计算量大还容易出错。这时候利用行列式的性质能够简化行列式的计算。
我们首先叙述行列式的性质，然后证明这些性质。
1，行列式的性质：
- \(|A|=|A^T|\)，即行列式与它的转置行列式相等；
- 如果行列式里有一行或者一列全为零，则行列式为 \(0\)；
- 交换两行或者两列，行列式变号；
- 如果某一行或者列乘以一个数，等于行列式乘以该数；即\[\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ ka_{i1}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&\cdots&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]
- 如果两行或者两列相等，则行列式为 \(0\);
- 如果两行或者两列成比例，行列式为 \(0\)；
- 将一行或者一列加上另一行或者另一列的倍数，行列式不变；
- 将一行或者列的元素乘以另一行或者另一列的代数余子式，其和为 \(0\)。
证明：（1）行列式与它的转转置行列式相等，因为行列式可以按任一行或者任一列展开；
（2）如果行列式某一行或者某一列全为 \(0\)，则按这一行或者这一列展开，行列式为 \(0\)；
（3）我们用归纳法来证明，交换两行或者两列，行列式变号。
首先，二阶的情形，\[|A|=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc,\quad \begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix}=bc-ad=-|A|\]所以结论对于二阶行列式成立。
我们假设结论对 \(n\) 阶行列式成立。我们证明对 \(n+1\) 阶行列式成立。我们假设 \(|B|\) 是由 \(|A|\) 交换两行得到的行列式。我们对 \(|A|\) 和 \(|B|\) 按照没有被交换的任一行展开，例如，\(i\) 行没有被交换，我们按这一行展开，
\[|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\]
\[|B|=a_{i1}B_{i1}+a_{i2}B_{i2}+\cdots+a_{in}B_{in}\]
由假设，\(A_{ij}, B_{ij}\) 都是 \(n\) 阶行列式，且\(B_{ij}=-A_{ij}\)，所以 \(|B|=-|A|\)。
（4）如果 \(|A|=\) 的第 \(i\) 行的每个元素都乘以一个数 \(k\)，成为\[\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ ka_{i1}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]我们将它按照第 \(i\) 展开，得到 \[\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ ka_{i1}&\cdots&ka_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=ka_{i1}A_{i1}+\cdots+ka_{in}A_{in}=k(a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in})=k|A|\]
（5）如果两行相等，例如第 \(i\) 行与第 \(j\) 行相等，那么我们交换这两行以后，行列式不变。但是交换两行，行列式变号，即 \(-|A|=|A|\)，所以 \(|A|=0\)；
（6）由前面两个性质，我们知道，两行成比例，行列式为 \(0\);
（7）我们假设 \(|B|\) 是将行列式 \(|A|\) 的第 \(j\) 行加上第 \(i\) 行的 \(k\) 倍得到。
\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{j1}&&a_{jn}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix},\qquad|B|=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{j1}+ka_{i1}&&a_{jn}+ka_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]
我们将 \(|B|\) 按照 \(j\) 行展开，\[\begin{align*}|B|&=(a_{j1}+ka_{i1})A_{j1}+\cdots+(a_{jn}+ka_{in})A_{jn}\\ &=(a_{j1}A_{j1}+\cdots+a_{jn}A_{jn})+(ka_{i1}A_{j1}+\cdots+ka_{in}A_{jn})\\ &=|A|+k(a_{i1}A_{j1}+\cdots+a_{jn}A_{jn})\end{align*}\]
我们来证明后一项为 \(0\)。\(a_{i1}A_{j1}+\cdots+a_{jn}A_{jn}\) 相当于将 \(|A\) 按照第 \(j\) 行展开，但是将第 \(j\) 行的元素替换成 \(i\) 行的对应元素，即
\[a_{i1}A_{j1}+\cdots+a_{jn}A_{jn}=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{i1}&&a_{in}\\ \vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]
由于两行相同，所以行列式为 \(0\)，即 \(a_{i1}A_{j1}+\cdots+a_{jn}A_{jn}80\)，也就是 \(|B|=|A|\)。
（8）由上面最后的证明，我们知道，将其中一行乘以另一行的对应代数余子式，其和为 \(0\)。
上面的这些性质，可以简化行列式的计算。其中最重要的是 （3），（4），（7），它们所对应的运算，称之为行列式的初等变换。也就是说，行列式的初等变换包含三种运算：
- 交换两行或者两列；
- 将其中一行或者列的公因子提到行列式外面；
- 将其中一行或者列加上另一行或者列的倍数。
通过这三种运算，可以简化行列式的形式，从而大大简化行列式的运算。
2，行列式的计算：计算行列式，最有效最简便的方法是降阶法。另一个是将行列式化成上、下三角形，从而可以直接得到行列式的值。
降阶法：通过行列式的初等运算，将其中一行或者一列的所有元素除一个以外，都化成 \(0\)，然后按照这一行或者列展开，从而降低行列式的阶。重复上述过程，最后可以得到一个二阶的行列式，从而可以得到行列式的值。
下面我们用降阶法求行列式。
例1：计算行列式 \[|A|=\begin{vmatrix}4&1&2&4\\ 1&2&0&2\\ 10&5&2&0\\ 0&1&1&7\end{vmatrix}\]
解：我们利用降阶法计算。先将第一列化成除一个元素外，都为 \(0\)，然后展开。依此进行。将第二行乘以 \(-4\) 加到第一行，乘以 \(-10\) 加到第三行，
\[\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}4&1&2&4\\ 1&2&0&2\\ 10&5&2&0\\ 0&1&1&7\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&-7&2&-4\\ 1&2&0&2\\0&-15&2&-20\\ 0&1&1&7\end{vmatrix}=1\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}-7&2&-4\\-15&2&-20\\ 1&1&7\end{vmatrix}\\& =-\begin{vmatrix}-9&0&-18\\-17&0&-34\\ 1&1&7\end{vmatrix}=-(-9)(-17)\begin{vmatrix}1&0&2\\1&0&2\\ 1&1&7\end{vmatrix}=0\end{align*}\]
例2：计算行列式 \[|A|=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ -1&-1&2&1\\ 2&5&2&4\\ 1&2&3&2\end{vmatrix}\]
解：将第一列第一个元素下方全部化成 \(0\)，
\[\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ -1&-1&2&1\\ 2&5&2&4\\ 1&2&3&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&-1&3\\ 0&0&1&4\\0&3&4&-2\\0&1&4&-1\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix} 0&1&4\\3&4&-2\\1&4&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0&1&4\\0&-8&1\\1&4&-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&4\\-8&1\end{vmatrix}=33\end{align*}\]