形如 \(\displaystyle y’=f(\frac{y}{x})\) 的微分方程，称为齐次方程。我们只需要对方程做变换 \(u=\frac{y}{x})\)，就可以将它化为可分离变量的微分方程，因为
\[u=\frac{y}{x}, y=xu, y’=\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\]
那么\[u+x\frac{du}{dx}=f(u),\quad\Rightarrow\quad x\frac{du}{dx}=f(u)-u\]这就是一个可分离变量的微分方程。
例1：解方程 \(\displaystyle y’=\frac{y+xe^{-\frac{y}{x}}}{x}\)。
解：方程变形为 \[y’\frac{y}{x}+e^{-\frac{y}{x}}\]
做变换 \(u=\frac{y}{x}\)，则 \(y’=u+x\frac{du}{dx}\)
\[\begin{align*}u+x\frac{du}{dx}=u+e^{-u}&\Rightarrow\quad x\frac{du}{dx}=e^{-u}\\ &\Rightarrow\quad e^udu=\frac{dx}{x}\\&\Rightarrow\quad \int e^udu=\int \frac{dx}{x}\\ &\Rightarrow\quad e^u=\ln|x|+C\\& \Rightarrow\quad u=\ln(\ln|x|+C)\\ &\Rightarrow\quad \frac{y}{x}=\ln(\ln|x|+C)\\ &\Rightarrow\quad y=x\ln(\ln|x|+C)\end{align*}\]
例2：解方程 \(x^2y’=y^2+xy-x^2\)。
解：将方程两边除以 (x^2\)，
\[y’=\left(\frac{y}{x}\right)^2+\frac{y}{x}-1\]
做变换 \(\displaystyle u=\frac{y}{x}\)，则 \(\displaystyle y’=u+\frac{du}{dx}\)，
\[\begin{align*}u+\frac{du}{dx}=u^2+u-1 &\Rightarrow \quad x\frac{du}{dx}=u^2-1\\ &\Rightarrow \quad \frac{du}{u^2-1}=\frac{dx}{x}\\ &\Rightarrow \quad \int\frac{du}{u^2-1}=\int\frac{dx}{x}\end{align*}\]
利用有理函数的部分分式法，
\[\frac{1}{u^2-1}=\frac{1}{(u-1)(u+1)}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}\]
我们求出 \(A=\frac{1}{2}, B=-\frac{1}{2}\)，所以
\[\begin{align*}\int\frac{du}{u^2-1}=\int\frac{dx}{x}&\Rightarrow\quad \frac{1}{2}\int\frac{du}{u-1}-\frac{1}{2}\int\frac{du}{u+1}=\frac{dx}{x}\\ &\Rightarrow\quad \frac{1}{2}\ln|u-1|-\frac{1}{2}\ln|u+1|=\ln|x|+C\\ &\Rightarrow\quad \frac{1}{2}\ln|\frac{u-1}{u+1}|=\ln|x|+C\end{align*}\]
我们将 \(C\) 用 \(\ln C\) 代替，\(\ln|x|+\ln C=\ln|Cx|\)，所以
\[\begin{align*}\frac{1}{2}\ln|\frac{u-1}{u+1}|=\ln|x|+C &\Rightarrow\quad \ln|\frac{u-1}{u+1}|=2\ln|Cx|\\ &\Rightarrow\quad \frac{u-1}{u+1}=Cx^2\\ &\Rightarrow\quad y-x=Cx^2(y+x)\\ &\Rightarrow\quad y(-1Cx^2)=Cx^3++x\\ &\Rightarrow\quad y=\frac{x(1+Cx^2)}{1-Cx^2}\end{align*}\]
这就是方程的通解。