我们说函数在一点处连续是指 \[\lim_{x\to a}f(x)=f(a),\]也就是说函数在一点处连续，就是它在这一点的极限值等于函数值。如果这个条件不满足，就称这个函数在这一点处“间断”。
注意：下面的文字解释不是视频的文字记录，它们与视频有一些不同。
1，连续性：之前我们在讲单侧极限的时候，我们知道，函数在一点处的极限存在，充分必要条件是函数在这一点处的左右极限存在且相等。也就是说 \[\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a}f(x).\]由这个定理及我们上面的定义，函数在一点 \(x=a\) 处连续包含了三个条件：
- 函数在 \(x=a \) 处有定义，即 \(f(a)\) 有意义；
- 函数在 \(x=a\) 的左右极限存在且相等；
- 函数在 \(x=a\) 的极限等于函数值。
我们来看几个连续性的问题。
例1，设 \[f(x)=\begin{cases}2x+3,&x\leq 4\\ 7+\frac{16}{x},&x>4\end{cases}\]
问， \(f(x)\) 在 \(x=4\) 时是否连续？
解：因为\[\lim_{x\to 4^-}f(x)=\lim_{x\to 4^-}(2x+3)=11,\qquad \lim_{x\to 4^+}f(x)=\lim_{x\to 4^+}\left(7+\frac{16}{x}=11\right)\]
所以 \(\lim_{x\to4}=11\)。又因为 \(f(4)=2\cdot 4+3=11=\lim_{x\to4}f(x)\)，所以由连续性的定义，函数在 \(x=4\) 处连续。
例2，设 \[f(x)=\begin{cases}1-x^2,&x<1\\ \frac{1}{x},& x\geq 1\end{cases}\]函数在 \(x=1\) 是否连续？
解：因为 \[\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(1-x^2)=0,\qquad \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x}=1\]
所以函数的左、右极限不相等，从而函数在 \(x=1\) 极限不存在，所以函数不连续。
例3，设 \[f(x)=\begin{cases}x^2-2x+1,&x<0\\ ax+b,& 0\leq x\leq 2\\ 4-x,& x>2\end{cases}\]
求 \(a,b\)，使得函数 \(f(x)\) 处处连续。
解：因为函数的每一段都是多项式，它们在各自的部分都是连续的。所以只需要考虑分段点处的连续性。
\[\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(x^2-2x+1)=1,\quad \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(ax+b)=b\]
令左右极限相等得到 \(b=1\)。再考虑 \(x=2\) 的左右极限
\[\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to2^-}(ax+1)=2a+1,\quad \lim_{x\to2^+}f(x)=\lim_{x\to2^+}(4-x)=2\]令左右相等，得到 \[2a+1=2\Rightarrow a=\frac{1}{2}\]
又因为函数在分段点处有定义，等于它的极限值，所以当 \(a=\frac{1}{2},b=1\) 时，函数处处连续。
2，间断点的类型：如果连续性的三个条件的任何一个不满足，则函数在该点处不连续。根据条件不满足的情况，我们可以为间断点作一个分类：
- 左右极限存在且相等，但函数在这一点没有定义，这一类间断点称为可去间断点；
- 极限存在，但不等于函数值，也称为可去间断点；
- 左右极限存在但不相等（不是无穷大，无穷大是极限不存在的一种情况），称之为跳跃间断点；
- 左右极限有一个为无穷大，称之为无穷间断点；
- 左右极限都不存在，也不为无穷大，称之为振荡间断点。
对于可去间断点，我们可以修改函数在该点的值，从而使新的函数在该点连续。
对于连续性与间断点的理论，我们常见的问题有几个：其一是找出函数所有间断点并判断其类型，如果是可去间断点，则修改其函数值使其在该点连续；其二是求未知常数，使得函数处处连续。我们来看几个这样的例题。
例1：求函数 \(f(x)=\frac{x+2}{x^2-4}\) 的所有间断点并判断其类型，若为可去间断点，修改函数值使其在该点连续。
解：我们知道函数在 \(x=\pm 2\) 处没有定义，其它地方都有定义，而且函数是有理函数，所以有定义的地方都连续。所以我们只需要考虑\(x=\pm 2\) 这两点。
因为
\[\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{x^2-4}=\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}=\lim_{x\to -2}\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{4}\]所以函数在 \(x=-2\) 这一点极限存在，所以这一点为可去间断点。
我们重新定义 \(f(-2)=-\frac{1}{4}\)，也就是\[f(x)=\begin{cases}\frac{x+2}{x^2-4},\quad & x\ne 2;\\ -\frac{1}{4},& x=-2\end{cases}\]那么 \(f(x)\) 在 \(x=-2\) 处是连续的。
现在考虑 \(x=2\)，因为\[\lim_{x\to 2}\frac{x+2}{x^2-4}=\lim_{x\to 2}\frac{1}{x-2}=\infty\]在 \(2\) 左边是负无穷大，在右边是正无穷大，所以 \(x=2\) 是函数的无穷间断点。
例2：求常数 \(a,b\) 使得函数 \[f(x)=\begin{cases}x^2+5, & x>2\\ a(x+1)+b, \quad & -1\le x\le 2\\ 2x^3+x+7, & x\le -1\end{cases}\] 处处连续。
解：因为函数除了在分段点以外，都是多项式， 我们知道多项式对所有值都是连续的。所以我们只需要考虑在分段点的情况。
在 \(x=2\) 处， 左极限为 \[\lim_{x\to2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}a(x+1)+b=3a+b\]右极限为\[\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{2^+}x^2+5=9\]所以由连续的性质，左右极限相等，我们得到（函数值等于左极限，因为等号在左边部分，而左边部分是连续的）\[3a+b=9\]
再考虑 \(x=-1\) 处的情况。左极限为\[\lim_{x\to -1^-}f(x)=\lim_{x\to-1^-}2x^3+x+7=4\]右极限为\[\lim_{x\to-1^+}f(x)=\lim_{x\to-1^+}a(x+1)+b=b\]所以我们得到 \(b=4\)，代入到上面那个方程里去，我们得到 \(a=\frac{5}{3}\)