我们推导最常见的二次曲面：旋转面及柱面的方程，并且给出其它二次曲面的标准形式及图形。这些内容在我们学到重积分的时候要用到。
1，旋转面：
（1）绕 \(z\) 轴旋转的旋转面为
\[z=f(\pm \sqrt{x^2+y^2}), \text{或者} F(z,\pm\sqrt{x^2+y^2})=0\]
这是 \(z=f(x)\) （\(z=f(y)\)）绕 \(z\) 轴旋转而成的旋转面，或者 \(F(x,z)=0\)（\(F(y,z)=0\)） 绕 \(z\) 轴旋转而成的旋转面。
（2）绕 \(y\) 轴旋转的旋转面为
\[y=f(\pm\sqrt{x^2+z^2}),\text{或者} F(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})\]
（3）绕 \(x\) 轴旋转的旋转面为
\[x=f(\pm\sqrt{y^2+z^2}),\text{或者} F(y,\pm\sqrt{y^2+z^2})\]
例1，\(z=x^2+y^2\) 是由 \(z=x^2\) 绕 \(z\) 轴旋转而成。这是因为 \(z=x^2+y^2=(\pm\sqrt{x^2+y^2})^2\)。
例2，\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{9}=1\) 这是 \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\) 或者 \(\frac{x^2}{4}+\frac{z^2}{9}=1\) 绕 \(x\) 轴旋转而成的旋转面。
2，柱面：少一个变量的方程就是柱面的方程，少的那个变量就是柱面的平行轴。方程本身所代表的曲线称为柱面的准线，平行于平行轴的直线称为直母线。
例如，\(y=x^2\) 为平行于 \(z\) 轴的柱面，\(xOy\) 平面上的曲线 \(y=x^2\) 称为柱面的准线，平行于 \(z\) 轴、通过准线的直线称为它的直母线。
3，其它二次曲面：
（1）椭圆锥面：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2\) :
（2）椭球面：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) :
（3）单叶双曲面：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\) :
（4）双叶双曲面：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\) :
（5）椭圆抛物面：\(\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) :
（6）双曲抛物面：\(\displaystyle z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) 。
这些曲面我们需要了解它们图形的大致模样。