行列式部分的复习，主要在于行列式的计算，以及它们的一些基本性质。首先我们复习行列式的定义，然后叙述它们的性质，最后利用这些性质来计算一些行列式。
1，行列式的定义。我们采取行列式的递归法定义。因为这种定义方式比较容易理解和记忆，并且给出了行列式的一种计算方式。
二阶行列式：二阶行列式定义为\[|A|= \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\]简单地说，就是主对角线乘积减去副对角线的乘积。
三阶行列式：\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{1,3}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\]
如果我们记 \(C_{ij}\) 为原行列式划掉第 \(i\) 行，第 \(j\) 列后所得的行列式，\(A_{ij}=(-1)^{i+j}C_{ij}\)， 称为行列式的代数余子式，那么上式可以写成\[|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=\sum_{j=1}^{3}a_{1j}A_{1j}\]
由此，我们可以将此定义推广到 \(n\) 阶行列式。\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}& a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}=\sum_{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j}\]
这就是行列式的递归式定义，我们将高阶的行列式用低阶的行列式来定义。这样的定义也称为行列式的展开法。
2，行列式的性质：行列式的主要性质是以下四个：
- 行列式可以以任何一行或者列展开，即 \(|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}\)；
- 交换行列式两行或者两列，行列式变号；
- 某一行的因子可以提到行列式外面；
- 将一行（列）加上另一行（列）的倍数，行列式的值不变。
第二、三、四个性质所指的运算，称为行列式的初等变换。利用这些变换，可以简化行列式的计算。另外，行列式还有其它一些性质，我们不一一列举了，涉及到计算的，主要是这几个性质。
3，行列式的计算。具体的行列式的计算，主要是降阶法，就是结合行列式的初等变换与行列式展开来计算行列式。
具体的方法是：我们先利用行列式的初等变换，将行列式的某一行或者某一列的元素，化成除了一个数之外，其余全部为 \(0\)，然后将行列式按这一行或者列展开，得到一个低一阶的行列式，依此进行，最后得到一个二阶的行列式，从而求出行列式的值。
我们来看例题。
例1：计算五阶行列式\[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\ 1&2&2&2&2\\1&2&3&3&3\\1&2&3&4&4\\1&2&3&4&5\end{vmatrix}\]
解：我们将第二、三、四、五行依次减去第一行，得到
\[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\ 1&2&2&2&2\\1&2&3&3&3\\1&2&3&4&4\\1&2&3&4&5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1\\0&1&2&2&2\\0&1&2&3&3\\0&1&2&3&4\end{vmatrix}\]
我们看到了，第一列除了第一个数字不为 \(0\) 以外，其余数字都是 \(0\)，我们按第一列展开，就得到了 \[|A|=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&2&2\\1&2&3&3\\1&2&3&4\end{vmatrix}\]
同样的方法，我们得到\begin{align*}|A|&=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\ 1&2&2&2&2\\1&2&3&3&3\\1&2&3&4&4\\1&2&3&4&5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&1&1\\0&1&1&1&1\\0&1&2&2&2\\0&1&2&3&3\\0&1&2&3&4\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\ 0&1&1&1\\ 0&1&2&2\\0&1&2&3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\ 1&2&2\\1&2&3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\ 0&1&1\\0&1&2\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\end{align*}
我们来看第二个例题。
例2：计算行列式 \[|A|=\begin{vmatrix}a&b&\cdots&b\\ b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ b&b&\cdots&b\end{vmatrix}\]
解：我们看到除了主对角线元素外，其余的数字都是 \(b\)，再分析一下，我们看到，每一行或者每一列，所有元素加起来都相同，所以，我们将所有行都加到第一行（也可以加到第一列），我们得到 \[|A|=\begin{vmatrix}a&b&\cdots&b\\ b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ b&b&\cdots&b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a+(n-1)b&a+(n-1)b&\cdots&a+(n-1)b\\ b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ b&b&\cdots&b\end{vmatrix}\]
在第一行提出因子 \(a+(n-1)b\)，我们得到\[|A|=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\ b&a&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ b&b&\cdots&b\end{vmatrix}\]
再将第二行到第 \(n\) 行都减去第一行的 \(b\) 倍，我们得到
\[|A|=[a+(n-1)b]\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\ 0&a-b&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a-b\end{vmatrix}=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}\]
最后的等式，是因为这是一个上三角行列式，它的值等于主对角线元素的积。