1，最大最小值问题的求法：（1）求出所有极值；（2）求出函数在端点处的值；（3）比较极值与端点处的值，最大的为最大值，最小的为最小值。
另外，如果区间上只有一个极值（极大值和极小值加起来只有一个），则它必定是最值。
例1，求函数 \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+1\) 在区间 \([-2,3]\) 上的极值。
解：\(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)\)，令 \(f'(x)=0\)，得到两个点 \(x=-1,2\)。
又\(f^{\prime\prime}(x)=12x-6\)，而 \(f^{\prime\prime}(-1)=-18<0\)，所以 \(x=-1\) 是极大值点，极大值为 \(f(-1)=-2-3+12+1=8\)。
\(f^{\prime\prime}(2)=18>0\)，所以 \(x=2\) 是极小值点，极小值为 \(f(2)=-19\)。
两端点处的值：\(f(-2)=-3, f(3)=-8\)，所以区间 \([-2,3]\) 上的最大值 为 \(f(-1)=8\)，最小值为 \(f(2)=-19\)。
最大最小值通常是以应用题的方式出现。我们来看一个例子。
例2，面积为 \(1200cm^2\) 的薄片，制成底为正方形无盖的盒子，问边长及高各为多少时，体积最大？
解：设边长为 \(x\)，高为 \(h\) ，则体积为
\[V=x^2h\]
又因为表面积固定，为 \(1200cm^2\)，而无盖的盒子的表面积为\[A=x^2+4xh=1200\]
所以得到 \(h=\frac{1200-x^2}{4x}\)，代入到体积公式里去，得到
\[V=\frac{1200-x^2}{4x\cdot x^2}=300x-\frac{1}{4}x^3\]
它的一阶导数为： \(V'(x)=300-\frac{3x^2}{4}\)，令它等于 \(0\)，得到 \(x^2=400\)，也就是 \(x=20\) （\(x=-20\) 舍去，因为边长不会小于 \(0\)）。而
\[f^{\prime\prime}(x)=-\frac{3}{2}x, \quad f^{\prime\prime}(20)=-30<0\]
所以 \(V(20)=4000\) 是极大值，因为这是唯一的极值，所以它就是最大值。