零点的个数（辐角原理）

由留数定理，我们可以证明函数的零点个数定理，这个定理也叫辐角原理。那是因为函数在某个区域上零点的个数等于函数辐角在区域上变动的圈数，所以也叫辐角原理。

1，定理（零点的个数）：设 $f (z)$ 在闭曲线 $Γ$ 上解析，在 $Γ$ 内部除了 $N$ 个极点外解析，在 $Γ$ 上 $f (z) \neq 0$ ，而在 $Γ$ 内部有 $m$ 个零点，则

$M - N = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f^{'} (z)}{f (z)} d z$

其中极点或者零点有几级算几个。

证明：（1）设 $z = a$ 为 $m$ 重零点，则 $f (z) = (z - a)^{m} ϕ (z)$ ，其中 $ϕ (a) \neq 0$ ， $ϕ (z)$ 在 $z$ 附近解析。从而对某个数 $ρ > 0$ ，

$\begin{aligned} f^{'} (z) = m (z - a)^{m - 1} ϕ (z) + (z - a)^{m} ϕ^{'} (z) \\ \Rightarrow \frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} \frac{f^{'} (z)}{f (z)} d z = \frac{1}{2 π i} \int_{| z - a | = ρ} (\frac{m}{z - a} + \frac{ϕ^{'} (z)}{ϕ (z)}) d z = m \end{aligned}$

这里因为 $\frac{ϕ^{'} (z)}{ϕ (z)}$ 是 $| z - a | \leq ρ$ 上的解析函数，由柯西积分定理，它的积分为 $0$ 。

（2）设 $z = b$ 是 $n$ 级极点，则 $f (z) = \frac{ϕ (z)}{(z - b)^{n}}$ ， $ϕ (z)$ 在 $b$ 附近解析，

$\begin{aligned} f^{'} (z) = \frac{- n ϕ (z)}{(z - b)^{n + 1}} + \frac{ϕ^{'} (z)}{(z - b)^{n}} \end{aligned}$

所以

$\begin{aligned} \frac{1}{2 π i} \int_{| z - b | = ρ} \frac{f^{'} (z)}{f (z)} d z & = \frac{1}{2 π i} \int_{| z - b | = ρ} (\frac{- n ϕ (z)}{(z - b)^{n + 1}} + \frac{ϕ^{'} (z)}{(z - b)^{n}}) d z = - n \end{aligned}$

（3）由复连通区域上的柯西积分定理，我们得到

$\frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f^{'} (z)}{f (z)} d z = \sum_{i = 1} m_{i} - \sum_{k} n_{k} = M - N$

定理证毕。

我们把上面的这个定理改写一下，就得到了辐角原理

2，辐角原理：因为

$\begin{aligned} \frac{f^{'} (z)}{f (z)} & = {[Ln f (z)]}^{'} = {[\ln | f (z) | + i Arg f (z)]}^{'} \\ = \frac{d}{d z} \ln | f (z) | + i \frac{d}{d z} Arg f (z) \end{aligned}$

两边积分，得

$\begin{aligned} \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f^{'} (z)}{f (z)} d z & = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{d}{d z} \ln | f (z) | d z + \frac{1}{2 π} \int_{Γ} \frac{d}{d z} Arg f (z) d z \\ = \ln | f (z) | |_{z_{0}}^{z_{0}} + \frac{1}{2 π} \int_{Γ} \frac{d}{d z} Arg f (z) d z \\ = \frac{1}{2 π} \int_{Γ} \frac{d}{d z} Arg f (z) d z \end{aligned}$

最后的积分，就是函数绕 $Γ$ 一圈后，辐角的变化。若记

$Δ_{Γ} Arg f (z) = \int_{Γ} \frac{d}{d z} Arg f (z)$

则 $\frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f^{'} (z)}{f (z)} d z = Δ_{Γ} Arg f (z) = M - N$