我们来推导几个特殊的，也是常用的分式线性函数。
1，首先，我们推导对称点的表达式。若 \(z_1,z_2\) 关于以 \(a\) 为圆心的圆对称。若 \(z_1-a=re^{i\theta}\)，其中 \(\theta \) 是从 \(a\) 出发，连接 \(z_1,z_2\) 的射线与从 \(a\) 出发的水平射线的夹角。则由 \(|z_1-a|\cdot|z_2-a|=R^2\) 知道
\[|z_2-a|=\frac{R^2}{r},\quad z_2-a=\frac{R^2}{r}e^{i\theta}=\frac{R^2}{re^{-i\theta}}=\frac{R^2}{\overline{z_1-a}}\]
即 \[z_2-a=\frac{R^2}{\overline{z_1-a}}\]
若是 \(z_1,z_2\) 是关于圆心在原点的单位圆的对称点，则 \(z_2=\frac{1}{\bar{z}_1}\)。
2，将上半平面变成上半平面的分式线性函数。
将上半平面变成上半平面的变换满足两个条件：（1）实数轴变成实数轴；（2）方向保持一致。
设将上半平面变成上半平面的分式线性函数为 \(w=\frac{az+b}{cz+d}\)，则当 \(z\) 为实数时，\(w\) 也为实数，所以我们得到 \(a,b,c,d\) 都是实数。
在实数轴上，当 \(z\) 增加时， \(w\) 也增加，因为方向一致。所以当 \(z\) 为实数时，\(w\) 单调增加，
\[w’=\frac{a(cz+d)-c(az+b)}{(cz+d)^2}=\frac{ad-bc}{(cz+d)^2}>0\]
所以当 \(ad-bc>0\)，且 \(a,b,c,d\) 都是实数时，分式线性函数将上半平面变成上半平面。
3，将上半平面变成单位圆的分式线性函数。
若设上半平面一点 \(a\) 变成圆心，\(w=0\)，则它的对称点为 \(\bar{a}\) 变成 \(w\) 平面的无穷大。实数轴变成单位圆周。
所以分式线性变换具有形式：\[w=k\frac{z-a}{z-\bar{a}}\]
现在求出 \(k\) 的形式。因为该变换将实数轴变成单位圆周。所以 \(z=0\) 变为单位圆周上一点。当 \(z=0\) 时，
\[|w|=1=|k\cdot \frac{a}{\bar{a}}=|k|\]
所以 \(|k|=1\)，也就是 \(k=e^{i\theta}\)。所以将上半平面变成单位圆的分式线性变换为 \[w=e^{i\theta}\frac{z-a}{z-\bar{a}}\]
4，将单位圆变成单位圆的分式线性函数。
设单位圆内一点\(z=a\) 变成单位圆心 \(w=0\)，那么它的对称点 \(\frac{1}{\bar{a}}\) 变成 \(w=\infty\)，所以分式线性变换具有形式\[w=k\frac{z-a}{z-\frac{1}{\bar{a}}}=\bar{a}k\cdot\frac{z-a}{\bar{a}z-1}=-\bar{a}k\cdot\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\]
因为 \(z=1\) 在单位圆周上，它变成 \(w\) 平面上单位圆周上的一点。所以 \(w(1)=\bar{a}k\cdot\frac{1-a}{\bar{a}-1}\)
\[|w(1)|=1=\left|\bar{a}k\cdot\frac{1-a}{\bar{a}-1}\right|=|k\bar{a}|\left|\frac{1-a}{\bar{a}-1}\right|=|-k\bar{a}|=1\]
所以 \(-k\bar{a}=e^{i\theta}\)。因此，将单位圆变成单位圆的分式线性变换为
\[w=e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\]