调和函数的一个重要性质是平均值定理。这个定理可以由解析函数的平均值定理得到。我们先来回顾一下解析函数的平均值定理。
1，解析函数的平均值定理：设函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 解析，圆 \(|z-z_0|<r\) 位于 \(D\) 内，则由柯西积分公式，
\begin{align*}f(z_0)&=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=r}\frac{f(z)}{z-z_0}dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}ire^{i\theta}d\theta\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})d\theta\end{align*}
也就是说，\(f(z)\) 在 \(z_0\) 的值就是 \(f(z)\) 在圆周 \(|z-z_0|=r\) 上的平均值。
由这个定理，可以得到调和函数的平均值定理。
2，调和函数的平均值定理：设 \(u(x,y)\) 在圆 \(|z-z_0|<r\) 内调和，在 \(|z-z_0|\leq r\) 上连续，则\[u(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(z_0+re^{i\theta})d\theta\]
证明：设\(v(x,y)\) 是 \(u\) 的共轭调和函数，则由前面的解析函数的平均值定理，
\begin{align*}u(z_0)+iv(z_0)=f(z_0)&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})d\theta\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(u(z_0+re^{i\theta})+iv(z_0+re^{i\theta}))d\theta\\&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(z_0+re^{i\theta})d\theta+i\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}v(z_0+re^{i\theta}))d\theta\end{align*}
所以\[u(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(z_0+re^{i\theta})d\theta,\qquad v(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}v(z_0+re^{i\theta}))d\theta\]
这就证明了调和函数的平均值定理。
接下来我们证明调和函数的极值原理。 为此，我们先叙述解析函数的最大模原理。
3，最大模原理：设函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析。若 \(z_0\in D\) 使得对所有的 \(z\in D\)，\(f(z_0)\geq f(z)\)，则 \(f(z)\) 在 \(D\) 内是常数。
4，极值原理：设 \(u(z)\) 在区域 \(D\) 内是调和函数，且不恒等于常数，则 \(u\) 在 \(D\) 内部不能达到最大值和最小值。
证明：只需要证明最大值的情形。因为 \(u\) 的最小值就是 \(-u\) 的最大值。
我们用反证法。假设 \(u(z)\) 在 \(z_0\in D\) 取到最大值。在 \(D\) 内作 \(u\) 的共轭调和函数 \(v(z)\)，记 \(f(z)=u(z)+iv(z)\)，则函数 \(e^{f(z)}\) 在 \(D\) 内是调和函数，它的模 \[|e^{f(z)}|=e^{u(z)}\]
它的最大值与 \(u(z)\) 在同一点 \(z_0\)达到最大值。由最大模原理，\(e^{f(z)}\) 是常数，从而得到 \(f(z)\) 是常数，也就是说 \(u(z),v(z)\) 都是常数。这与我们的假设矛盾。
调和函数的极值原理也有如下的形式：
5，极值原理：设函数 \(u(z)\) 在区域 \(D\) 内调和，在 \(\bar{D}\) 上连续。除非 \(u(z)\) 恒等于常数，否则 其最大值不可能在区域内部取到 （也就是说，最大值只能在边界取到。）