我们之前在讲对坐标的曲线积分的定义的时候，曾经给出这么一个例子：
\[\int_L2xydx+x^2dy\] 沿三条曲线 \(L_1:y=x^2, L_2: y=\sqrt{x}\) 及 \(L_3:\) 从原点到 \((1,0)\) 再到 \((1,1)\) 的积分，从 \((0,0)\) 点到 \((1,1)\) 点的积分完全一样。
我们看到这三条曲线的起点与终点都是相同的，这就给出了一个问题：是不是这个积分只与起点与终点有关，而与路径无关？
1，曲线论基本定理给出了，\[\int_L\nabla f\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)\]也就是说，保守场的积分与路径无关，只与曲线的起点与终点有关。
我们给出这样的定义
2，积分与路径无关：若 \(\displaystyle\int_{L_1}\vec{F}\cdot\vec{r}=\int_{L_2}\vec{F}\cdot\vec{r}\) 对所有起点与终点相同的 \(L_1, L_2\) 成立，我们称曲线积分与路径无关。
3，曲线积分与路径无关的条件：下列条件是等价的
- \(\displaystyle\int_{L}\vec{F}\cdot\vec{r}\) 与路径无关；
- \(\vec{F}=\nabla f \)；
- 平面上 \(\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\) ，或者立体上 \[\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}\]
- 沿任一闭曲线积分为 \(0\)。
证明：我们已经证明了第二条与第三条等价。由曲线积分基本定理，我们得到第二条能推出第一条。
现在我们证明第一条能推出第四条。
因为 \(\int_{L_1}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{L_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}\)，,而且\(L_1\)与 \(L_2\) 的反向组成一个闭曲线 ，我们记 \(L=L_1-L_2\)，所以
\[\int_{L_1}\vec{F}\cdot d\vec{r} -\int_{L_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}=0\quad\Rightarrow\quad \oint_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=0\]
所以第一个条件能够推出第四个条件。现在证明第四个条件能推出第二个条件。
因为沿任一闭曲线的积分为 \(0\)，由格林公式 \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\)。这就是第二个条件。如果是空间曲线，我们需要后面的 Stokes 定理。
我们可以利用与路径无关来求一些曲线积分。
例1：计算 \(\int_{(1,1)}^{(2,3)}(x+y)dx+(x-y)dy\)。
解：我们有
\[\frac{\partial P}{\partial y}=1, \frac{\partial Q}{\partial x}=1\]
所以 \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\)，曲线积分与路径无关。我们选取路径
\(L_1: y=1, dy =0\)，\(x\) 从 \(1\) 到 \(2\)；\(L_2:x=2, dx=0\)，\(y\) 从 \(1\) 到 \(3\)。所以积分为
\[\begin{align*}\int_{(1,1)}^{(2,3)}(x+y)dx+(x-y)dy&=\int_{L_1}(x+y)dx+(x-y)dy+\int_{L_2}(x+y)dx+(x-y)dy\\ &=\int_1^2(x+1)dx+\int_1^3(2-y)dy\\ &=\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\Big|_1^2+\left(2y-\frac{y^2}{2}\right)\Big|_1^3\\ &=\frac{5}{2}\end{align*}\]
如果积分与路径无关，那么我们可以选取最容易计算的路径来计算曲线积分。通常选取 \(x\) 为常数和 \(y\) 为常数这样的路径，会大大简化计算过程。