函数什么时候能展开成三角级数，它们的表达式又是什么？这是这一节的内容。
1，傅里叶级数：我们假设函数 \(f(x)\) 是周期为 \(2\pi\) 的周期函数，它能展开成三角级数
\[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+b_n\sin nx\]
则 \[\begin{align*}&a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\\ &a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx,\\ &b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\end{align*}\]
这样的三角级数，我们称为函数的傅里叶级数。
证明：假设 \[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+b_n\sin nx\]
（1）两边积分，应用三角函数的正交性，
\[\begin{align*}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx&=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+b_n\sin nx\\ &=\frac{a_0}{2}x\Big|_{-\pi}^{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}a_n\cos nx+\int_{-\pi}^{\pi}b_n\sin nx\\&=a_0\pi+0=a_0\pi\end{align*}\]
所以我们得到 \(\displaystyle a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\)。
（2）两边乘以 \(\cos nx\) 再积分，利用三角函数的正交性，
\[\begin{align*}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx&=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos nxdx+\sum_{k=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}a_k\cos kx\cos nxdx\\ &\quad+\sum_{k=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}b_k\sin kx\cos nxdx\\ &=0+\int_{-\pi}^{\pi}a_n\cos^2nxdx+0\\ &=a_n\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1+\cos 2nx}{2}dx\\ &=\frac{a_n}{2}(x+\frac{1}{2n}\cos2nx)\Big|_{-\pi}^{\pi}\\ &=a_n\pi\end{align*}\]
所以 \(\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx\)。这里 \[\sum_{k=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}a_k\cos kx\cos nxdx=\int_{-\pi}^{\pi}a_n\cos^2nxdx\]
是因为若 \(k\ne n\)，则 \(\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}a_k\cos kx\cos nxdx=0\)，这是三角函数的正交性。
（3）两边乘以 \(\sin nx\) 再积分，
\[\begin{align*}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx&=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\sin nxdx++\sum_{k=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}a_k\cos kx\sin nxdx\\ &\quad+\sum_{k=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}b_k\sin kx\sin nxdx\\ &=0+0+\int_{-\pi}^{\pi}b_n\sin^2nxdx\\ &=b_n\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos 2nx}{2}dx\\ &=\frac{a_n}{2}(x-\frac{1}{2n}\cos2nx)\Big|_{-\pi}^{\pi}\\ &=b_n\pi\end{align*}\]
所以 \(\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\)。同样的，由三角函数的正交性，
\[\sum_{k=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}b_k\sin kx\sin nxdx=\int_{-\pi}^{\pi}b_n\sin^2nxdx\]
现在我们叙述函数能够展开成傅里叶级数的条件。
2，定理（函数展开成傅里叶级数的条件）：若 \(f(x)\) 是周期为 \(2\pi\) 的函数，若
（1）在一个周期内 \(f(x)\) 连续，或者只有有限个第一类间断点（左右极限存在）；
（2）在一个周期内只有有限个极值点，则
- 当 \(x\) 是连续点时， \(\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+b_n\sin nx=f(x)\)；
- 当 \(x\) 是间断点时，\(\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+b_n\sin nx=\frac{1}{2}(f(x^-)+f(x^+)\)。
定理的证明需要较多的预备知识，我们在这里略过。
我们来看一个例题。
例1：设 \(f(x)\) 是周期为 \(2\pi\) 的函数，在 \([-\pi,\pi)\) 上，
\[f(x)=\begin{cases}x,\quad & \pi\le x<0\\ 0,&0\le x< \pi\end{cases}\]
求 \(f(x)\) 的傅里叶级数。
解：由傅里级数的公式
\[\begin{align*}a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^0xdx+\frac{1}{\pi}\int_0^{pi}0dx\\ &=\frac{1}{\pi}\frac{1}{2}x^2\Big|_{-\pi}^0=-\frac{\pi}{2}\end{align*}\]
\[\begin{align*}a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}x\cos nxdx\\ &=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{n}x\sin nx-\frac{1}{n}\int_{-\pi}^0\sin nxdx)\\ &=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{n}x\sin nx+\frac{1}{n^2}\cos nx)\Big|_{-\pi}^0\\ &=\frac{1}{\pi}\frac{1}{n^2}-\frac{1}{\pi}\frac{1}{n^2}\cos(-n\pi)\\ &=\frac{1}{n^2\pi}(1-(-1)^n)\end{align*}\]
\[\begin{align*}b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}x\sin nxdx\\ &=\frac{1}{\pi}(-\frac{1}{n}x\cos nx+\frac{1}{n}\int_{-\pi}^0\cos nxdx)\\ &=\frac{1}{\pi}(-\frac{1}{n}x\cos nx+\frac{1}{n^2}\sin nx)\Big|_{-\pi}^0\\ &=\frac{1}{n\pi}(-\pi\cos(-n\pi))\\ &=\frac{(-1)^n}{n}\end{align*}\]
所以
\[\begin{align*}f(x)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx+b_n\sin nx\\ &=-\frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\pi}(1-(-1)^n)\cos nx+\frac{(-1)^n}{n}\sin nx\end{align*}\]