我们考虑某单位时间内流体通过曲面的流量问题。可以把问题想像为，一段时间内，河里的水流过一张渔网的流量。
1，流体通过曲面的流量：假设流体的速度向量为 \(\vec{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\)，曲面的法向量为 \(\vec{n}=\vec{n}(x,y,z)\)。这是因为，在不同的点，法向量的表达式不一样。
我们现在来推导流量的计算公式。
如同之前其它的积分推导一样，我们先将曲面划分成很小的一块块小曲面，在每个小曲面上，先计算流量的近似值，然后将曲面划分更细，近似程度越高，它的极限就是流量的精确值。
在 \(\Delta S_i\) 这个小曲面上，因为曲面的面积很小，速度向量近似于常向量，在此小曲面片上，任一取一点 \((x_i^*,y_i^*,z_i^*)\) 的速度向量 \(\vec{F}(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\) 作为通过这整个小曲面片上的速度向量。从图形中我们可以看出，柱体的体积等于底面积乘以高，底面积为 \(\Delta S_i\)，高等于 \(\vec{F}\) 在 \(\vec{n}\) 上的投影 \(\vec{F}\cdot \vec{n}\)，所以，若 \(\vec{n}\) 为单位向量，通过 \(\Delta S_i\) 的流量\(\Delta \Phi_i\) 近似于
\[\Delta \Phi_i\approx \vec{F}(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot \vec{n}\Delta S_i\]
所以通过整个曲面的流量近似于
\[\Phi=\sum_{i=1}^n\Phi_i\approx \sum_{i=1}^n\vec{F}(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot \vec{n}\Delta S_i\]
将面面划分更细，使得每一个小曲面的面积趋于 \(0\)，也就是取极限 \(\Delta S\to 0\)，这里 \(\Delta S\) 是所有小曲面里面面积最大的那一块的面积。我们就得到了流量的精确值
\[\Phi=\lim_{\Delta S\to 0}\sum_{i=1}^n\vec{F}(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot \vec{n}\Delta S_i\]
我们再次看到了和式的极限，我们将它记作积分
\[\iint_S\vec{F}(x,y,z)\cdot\vec{n}dS=\lim_{\Delta S\to 0}\sum_{i=1}^n\vec{F}(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot \vec{n}\Delta S_i\]
2，向量场的曲面积分：我们将
\[\iint_S\vec{F}(x,y,z)\cdot\vec{n}dS=\lim_{\Delta S\to 0}\sum_{i=1}^n\vec{F}(x_i^*,y_i^*,z_i^*)\cdot \vec{n}\Delta S_i\]
称为对向量场的曲面积分，或者称为流量积分。对于流量问题，我们可以直接利用这个积分来计算。
3，对坐标的曲面积分：我们可以将向量场的曲面积分化为对坐标的曲面积分。假设 \(|\vec{n}|=1\)，即它是单位法向量，那么它的方向余弦分别为 \(\cos \alpha, \cos\beta,\cos\gamma\)，法向量可以直接写成 \(\vec{n}=(\cos \alpha, \cos\beta,\cos\gamma)\)。所以曲面积分为
\[\begin{align*}\iint_S\vec{F}(x,y,z)\cdot\vec{n}dS&=\iint_S(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\cdot(\cos \alpha, \cos\beta,\cos\gamma)dS\\ &=\iint_S(P(x,y,z)\cos \alpha+Q(x,y,z)\cos\beta+R(x,y,z)\cos\gamma)dS\end{align*}\]
若曲面的方程为 \(z=g(x,y)\)，则曲面的上侧法向量为 \((-g_x,-g_y,1)\)，下侧法向量为 \((g_x,g_y,-1)\)，则单位法向量为 \(\vec{n}=(\frac{-g_x}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}},\frac{-g_x}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}},\frac{1}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}})\)，而面积元 \(dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}dxdy\)，我们通常取法向量分量为正的部分（这里是 \(z\) 分量为正，就是上侧）为曲面的正向，也就是说，三个方向分别取上侧、右侧和前侧为曲面的正向，所以 \[\iint_SR(x,y,z)\cos\gamma dS=\iint_SR(x,y,z)\frac{1}{\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}}\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}dxdy=\iint_{S}R(x,y,z)dxdy\]
这里 \(D_{xy}\) 是曲面在 \(xOy\) 平面的投影。
同理， 我们可以得到
\[\iint_{S} P(x,y,z)\cos \alpha dS=\iint_{S}P(x,y,z)dydz,\quad \iint_{S}Q(x,y,z)\cos \beta dS=\iint_{S}Q(x,y,z)dydz\]
我们看到这些积分，积分变量都是坐标变量，我们称之为对坐标的曲面积分。